無限の彼方へ【数学】 - フィンチの憂鬱

「無限の彼方へ」は映画「トイ・ストーリー」で空を飛べると信じていたバズ・ライトイヤーの言葉である。そう、宇宙は無限だ。ただ、数学的に言えば、宇宙も含め現実世界は有限であり、無限なものはない。無限に大きいものはなく（宇宙全体に限られる）、無限に小さいものもない（今のところ量子が限界）。速さや温度、時間（ビッグバン以降という意味で）も限界がある。また、極めて長い時間の単位として「劫」があり、大乗仏教（マハーヤーナ）では「縦横高さが20キロメートルの岩に、３年に１度天女が舞い降りて羽衣でなで、岩がすり切れてなくなってしまうまでの時間（注）」という例え話もあるが、これも有限時間であり、それよりも無限時間は長いということだ。（この「劫」は、「永劫」にも使われており、寿限無の「五劫のすり切れ」にも登場する。）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%AB

昔から、大きな数の単位として漢字文化圏では「無量大数」があり、1無量大数は10の68乗だ。兆から無量大数までは「兆→京→垓→𥝱→穣→溝→澗→正→載→極→恒河沙→阿僧祇→那由他→不可思議→無量大数」（無量大数よりも大きな単位もあり、不可説不可説転という単位は10の37澗（1澗は10の36乗）乗らしい）となっている。ただ、現実社会では「京」という単位が出てきた程度だ。なお、海外にも大きな数を示す言葉があり、googleの語源となったgoogol（グーゴル）は10の100乗だ。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1217326022

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/number.html

数学における「無限に大きい」とは、いくらでも大きくなる状態を指し、当然、特定の数値を指すものではない（もし誰かが途方もなく大きい数値を考えついた場合でも、その100倍の数は、それよりも大きな数値となる）。数学では概念として無限を考える。１という数を無限個に分解するのも数学では簡単だ。無限小を無限回足して有限というのは、ゼノンのパラドックス「アキレスと亀」でも有名。ネイピア数eも無限の概念から求めたもの（eは「（１＋１/ｎ）のｎ乗」でｎを無限大にした場合に収束する数。値は2.71828・・・で無理数（超越数）。1＋1/1！＋1/2！＋1/3！＋1/4！＋1/5！＋・・・でも求められる）。無限の集まり（無限集合）にもサイズがあり、可算集合（整数、有理数）や非可算集合（無理数）があり、非加算集合にもサイズの違いがある。また、無限への近づき方（発散速度）や、限りなくある値に近づいていく極限の概念などもある。とにかく、下の注にあるように、無限の概念はかなり非現実的なのだ（そのため、現実逃避にうってつけだ。そう、無限の彼方へ）。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0

（追記）また、「無限に小さい」もいくらでも考えられる。小さい単位は「分→厘→毛→糸→・・・→阿摩羅(あまら) →涅槃寂静(ねはんじゃくじょう)」と涅槃寂静は10のマイナス24乗だ。大きい方の単位（無量大数で10の68乗）に比べれば小さい方は乗数が少なめだが、1以上の数と（０超）1以下の数はｙ＝１／ｘで１対１対応する。10の24乗＝１予＝１／（１涅槃寂静）であり、無限に大きいことと無限に小さいことは対応している。また、小数以下の数値の繰り返しがあり分数で表される有理数と無理数では無理数の方が多い。これは、無理数は例えば、0.12345678910111213・・・のように1から順に並べていった数も繰り返しがないので無理数となるように、簡単に作ることができることから、なんとなく感覚としてわかる（数値を何度も繰り返す方が難しいだろう）。実際に有理数は可算（数えられる）だが無理数は非可算である。無理数を除いた数直線は、無数の穴だらけなのだが、２つ穴（無理数）の間には、やはり無理数も有理数も無数に存在するのだ（やっぱり、無限の彼方へ、だ）。